点aを含む区間上で定義された関数f(x)が
cn+1級 ( f , f ' , f '' ,・・・, f(n+1)
が連続 )であるとき、次が成り立ちます([ テイラーの定理 ])。
(ここでcはaとxの間の数)
点aにおける n次テイラー多項式
のグラフを描いてみましょう。例えば、f(x) = ex の 0 における 9
次のテイラー多項式を考えてみます。Mapleでは、テイラー展開を求める taylor関数が組み込み関数として用意されています。
＞
taylor( exp(x) , x=0 , 10 )
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と入力すると、f(x) = ex に対し、a = 0 , n = 9 の場合の展開式を求めることができます。
得られた結果から剰余項 R10を取り除いて
、9次のテイラー多項式 p9 を取り出すには、convertコマンドにより、
＞
p9 : = convert( % , polynom )
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とします。 y=p9(x) と y=ex のグラフを、
例えば定義域 [0,3] として、並べて描いてみましょう。
＞plot( { exp(x) , p9 } , x=0 . . 3 )
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実習 13.1 ex の 0 におけるテイラー多項式
p3 , p6 , p9 を求め、ex と一緒にグラフを描いて
ex への収束性を調べてみましょう。
[正解例]
実習 13.2 1/(1-x) の 0 におけるテイラー多項式
p3 , p6 , p9 を求め、1/(1-x) と一緒にグラフを描いて
1/(1-x) への収束性を調べてみましょう。
[正解例]