20章 曲面



パラメータ表示された曲面

S:(x(s,t),y(s,t),z(s,t)), s∈[a,b], t∈[c,d]


を表示してみましょう。例えば、球面S:(sin scos t ,sin s sin t ,cos s), s∈[0,π],t∈[0,2π]を表示するには、次のように入力します。

>plot3d([sin(s)*cos(t),sin(s)*sin(t),cos(s)],s=0..Pi,t=0..2Pi)


実習20.1　次の曲面を表示しなさい。ただし、曲面は実際のスケールで表示（画像をクリックすると表示される１：１ボタンを選択）してください。
(1)　(2cos s,2sin s, t), s∈[0,2π], t∈[-1,1]
(2)　メビウスの輪
　　((2+tcos s/2)cos s,(2+tcos s/2)sin s,tsin s/2), s∈[0,2π], t∈[-1,1]
(3)　トーラス
　　((2+cost)cos s, (2+cost)sin s,sint), s∈[0,2π], t∈[0,2π]

[正解例]



y=f(x) (a≦x≦b)のグラフをx軸の回りに回転してできる回転体において、回転面は

(s,f(s)cost,f(s)sint), s∈[a,b],t∈[0,2π]

とパラメータ表示できます。また



が成り立ちます。ここで、mapleでは |x| は abs(x) と表します。



実習20.2　y=sinx (0≦x≦3π)のグラフをx軸の回りに回転してできる回転体について、次の問いに答えなさい。
(1)回転面を表示しなさい。ただし、曲面は実際のスケールで表示（画像をクリックすると表示される１：１ボタンを選択）してください。
(2)体積を求めなさい。
(3)表面積を求めなさい。

[正解例]




2つ以上の曲面を同時に表示してみましょう。

>with(plots):
>A:=plot3d([sin(s)*cos(t),sin(s)*sin(t),cos(s)],s=0..Pi,t=0..0.5*Pi)
(球面x2+y2+z2=1上で「x>0かつy>０の部分」を表示）


>B:=plot3d([sin(s)*cos(t),sin(s)*sin(t),cos(s)],s=0..Pi,t=Pi..1.5*Pi)
（球面　x2+y2+z2=1上で「x<0かつy<0の部分」を表示）

>display({A,B})


実習20.3　次を表示しなさい。
(１)球面x2+y2+z2=1上で｢y>0かつz>0の部分｣と「y<0かつz<0の部分」
(２)球面x2+y2+z2=1上で「x>0かつy>0かつz>0の部分」と「x>0かつy<0かつz<0の部分」と「x<0かつy>0かつz<0の部分」と「x<0かつy<0かつz>0の部分」

[正解例]


実習20.4　懸垂線y=(ex+e-x)/2, x∈[-1,1]をx軸の回りに回転してできる懸垂面を表示しなさい。ただし、曲面は実際のスケールで表示（画像をクリックすると表示される１：１ボタンを選択）してください。 また、その表面積を求めなさい。

[正解例]


実習20.5　実習１(３)のトーラスは円(x-2)2+z2=1(２つの関数x=2±√(1-z2)のグラフ）をz軸の回りに回転してできる回転体です。 すなわち、y=2±√(1-x2)のグラフをx軸の回りに回転してできる回転体と合同である。次の問いに答えなさい。
(１)体積を求めなさい。
(２)表面積を求めなさい。

[正解例]